Este contenido ha sido diseñado por Manuel Alén Sánchez.
Es un ejercicio de optimización básico para determinar las medidas esenciales (base y altura) de una ventana con forma de rectángulo. Necesitamos determinar el metal necesario para rodear la ventana. Dentro de los objetivos y del Plan Nacional Económico se quiere reducir los recursos naturales utilizados,por lo que buscamos minimar la cantidad de metal utilizado. Contamos además con fórmulas como la del área. \[ [I] A = b \cdot h \]
Y el perímetro
\[ P = 2 \cdot b + 2 \cdot h \]
Imagen 1: Ejemplo de una ventana realizada en GeoGebra
Para esto, suponemos un rectángulo de un área cualquiera, por ejemplo 180 unidades cuadradas:
\[ 180 = b \cdot h \]
\[ b = \frac{180}{h} \]
Esta variable la sustituimos en la función del perímetro:
\[ f_{(b,h)} = 2 \cdot (\frac{180}{h}) + 2 \cdot h \]
$$ f_{(b,h)} = + 2 h;
$$
\[ f_{(b,h)} = 360 \cdot h^{-1} + 2 \cdot h \]
El siguiente paso sería realizar la derivada de esta expresión que se nos quedaría:
\[ f_{(b,h)}^{'} = - 360 \cdot h^{-2} + 2 \]
\[ f_{(b,h)}^{'} = 2 - \frac{360}{h^{2}} \]
Ahora se tiene que buscar el mínimo igualando el resultado de la primera derivada a 0.
$$ 2 - = 0;
$$
\[ 2 \cdot h^{2} - 360 = 0 \]
\[ \sqrt{h^{2}} = \sqrt{\frac{360}{2}} \]
\[ h = \sqrt{180}; \] Y finalmente, este resultado se sustituye en la expresión del área: \[ b = \frac{180}{h} \]
\[ b = \frac{180}{\sqrt{180}} \]
\[ b = 13,42 unidades cuadradas \]
\[ h = 13,41 unidades cuadradas \]
Todo este desarrollo puede simplificarse con código en R
y que devuelva los valores de la base y la altura que minimicen el
perímetro (el metal usado en el marco de la ventana) de una ventana con
un área dada.
Aquí los resultados graficados: